Fungsi Kuadrat — Modul Belajar Interaktif

✨ Modul Premium

Kuasai Fungsi Kuadrat
dari Nol!

Belajar fungsi kuadrat jadi seru dan mudah dipahami. Mulai dari konsep dasar, grafik parabola, hingga aplikasi di kehidupan nyata — semua ada di sini!

5

Sub-materi

25+

Soal Latihan

1

Game Interaktif

∞

Grafik Visual

🎯 Tujuan Belajar

📖

Memahami KonsepMengenal bentuk umum fungsi kuadrat dan artinya dalam matematika.

📊

Membaca GrafikBisa membaca dan menggambar grafik parabola dengan benar.

🔎

Mencari AkarMenentukan akar persamaan kuadrat dengan berbagai cara.

🚀

Aplikasi NyataMenerapkan fungsi kuadrat dalam soal kehidupan sehari-hari.

🗺️ Mulai dari Mana?

📚

Materi 1

Pengertian & Bentuk Umum

📈

Materi 2

Grafik Parabola

🎯

Materi 3

Titik Puncak & Sumbu Simetri

🔢

Materi 4

Akar-akar Persamaan

⚡

Materi 5

Nilai Ekstrem & Aplikasi

🎨

Visual

Grafik Interaktif

🎮

Game

Tembak Sasaran!

📚 Materi 1

Pengertian & Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Kenali apa itu fungsi kuadrat, kenapa penting, dan bagaimana menulisnya dengan benar.

🔍 Apa itu Fungsi Kuadrat?

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi 2. Bentuk umumnya:

f(x) = ax² + bx + c

Syarat penting: Nilai a ≠ 0. Jika a = 0, fungsi berubah menjadi f(x) = bx + c yang merupakan fungsi linear, bukan kuadrat.

Di sini, a disebut koefisien x², b disebut koefisien x, dan c disebut konstanta.

📦 Tiga Bentuk Fungsi Kuadrat

1️⃣

Bentuk Umum

f(x) = ax² + bx + c

Paling sering digunakan

2️⃣

Bentuk Faktor

f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

Cocok untuk mencari akar

3️⃣

Bentuk Puncak

f(x) = a(x − h)² + k

Cocok mencari titik puncak

✅ Contoh & Bukan Contoh

✓ Ini fungsi kuadrat:
• f(x) = x² − 5x + 6
• f(x) = 2x² + 3x
• f(x) = −x² + 4
• f(x) = 3x²

✗ Ini BUKAN fungsi kuadrat:
• f(x) = 3x + 2 (derajat 1)
• f(x) = x³ − x (derajat 3)
• f(x) = 1/x (bukan polinomial)
• f(x) = 2ˣ (eksponensial)

💡 Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Tentukan nilai a, b, c dari f(x) = 3x² − 7x + 2 +

1

Tulis bentuk umum: f(x) = ax² + bx + c

2

Bandingkan dengan f(x) = 3x² − 7x + 2

3

Koefisien x² → a = 3

4

Koefisien x → b = −7 (perhatikan tanda minus!)

5

Konstanta → c = 2

⚡ Trik Koefisien selalu ambil tanda-nya sekaligus. Jadi −7x berarti b = −7, bukan 7!

Soal 2: Jabarkan f(x) = (x − 2)(x + 3) ke bentuk umum! +

1

Kalikan dengan FOIL: (x − 2)(x + 3)

2

First: x · x = x²

3

Outer: x · 3 = 3x

4

Inner: −2 · x = −2x

5

Last: −2 · 3 = −6

6

Gabungkan: x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6

7

Jadi: a = 1, b = 1, c = −6

⚡ Trik FOIL = First, Outer, Inner, Last. Ini cara cepat mengalikan dua binomial!

Soal 3: Apakah f(x) = (x + 1)² − 3 termasuk fungsi kuadrat? Jika ya, tentukan a, b, c! +

1

Jabarkan: (x + 1)² = x² + 2x + 1

2

Maka f(x) = x² + 2x + 1 − 3 = x² + 2x − 2

3

Ya! Ini fungsi kuadrat karena ada x² dengan koefisien ≠ 0

4

a = 1, b = 2, c = −2

⚡ Trik Bentuk puncak a(x−h)²+k selalu bisa dijabarkan ke bentuk umum. Koefisien a-nya tetap sama!

📝 Post Test Materi 1

5 Soal

📈 Materi 2

Grafik Fungsi Kuadrat

Pelajari bentuk parabola, arah bukaan, dan bagaimana koefisien mempengaruhi grafik.

🌀 Grafik Fungsi Kuadrat Adalah Parabola

Grafik dari setiap fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c selalu berbentuk parabola — kurva simetris yang menyerupai huruf U atau ∩.

🙂

a > 0 → Terbuka Ke Atas (U)

Parabola seperti huruf U. Punya nilai minimum.

🙃

a < 0 → Terbuka Ke Bawah (∩)

Parabola seperti huruf ∩. Punya nilai maksimum.

🔬

|a| Besar → Sempit/Lancip

Semakin besar |a|, parabola semakin ramping.

🌊

|a| Kecil → Lebar/Landai

Semakin kecil |a|, parabola semakin lebar.

📍 Titik-titik Penting pada Grafik

Titik Potong Sumbu Y:
Substitusi x = 0:
f(0) = a(0)² + b(0) + c = c
Titik: (0, c)

Titik Potong Sumbu X:
Cari x yang membuat f(x) = 0.
ax² + bx + c = 0
Ini disebut akar persamaan kuadrat.

💡 Ingat: Titik potong sumbu Y selalu mudah! Tinggal lihat nilai c saja. Misalnya f(x) = 2x² + 5x − 3, maka titik potong sumbu Y = (0, −3).

🎛️ Pengaruh Nilai b dan c

Nilai c menggeser parabola ke atas atau ke bawah (translasi vertikal).
Nilai b mempengaruhi posisi titik puncak secara horizontal (bersama dengan a).

Coba ubah nilai a, b, c di bagian 🎨 Visualisasi Grafik untuk melihat langsung efeknya!

💡 Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Tentukan arah bukaan dan titik potong sumbu Y dari f(x) = −2x² + 4x − 1 +

1

Identifikasi: a = −2, b = 4, c = −1

2

Karena a = −2 < 0 → Parabola terbuka ke bawah (∩)

3

Titik potong sumbu Y: c = −1 → Titik: (0, −1)

⚡ Trik Cukup lihat tanda a! Minus = terbuka ke bawah, plus = terbuka ke atas. Titik Y = (0, c)!

Soal 2: Grafik f(x) = x² − 4x + 4. Berapa kali grafik menyentuh sumbu X? +

1

Hitung Diskriminan: D = b² − 4ac = (−4)² − 4(1)(4) = 16 − 16 = 0

2

D = 0 artinya grafik menyentuh sumbu X di satu titik (parabola "mencium" sumbu X)

3

Faktoring: (x − 2)² = 0 → x = 2

4

Grafik menyentuh sumbu X hanya di titik (2, 0)

⚡ Trik Ingat: D > 0 = dua titik potong, D = 0 = satu titik (menyentuh), D < 0 = tidak potong sumbu X!

Soal 3: Gambarkan sketsa f(x) = x² − 2x − 3 (tentukan arah, titik Y, titik X) +

1

a = 1 > 0 → Terbuka ke atas (U)

2

Titik Y: c = −3 → Titik: (0, −3)

3

Titik X: x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0

4

Titik X: (3, 0) dan (−1, 0)

5

Titik puncak: x = −(−2)/(2·1) = 1, y = 1−2−3 = −4 → (1, −4)

⚡ Trik Urutan sketsa: (1) arah bukaan, (2) titik Y, (3) titik X (jika ada), (4) titik puncak. Sudah cukup untuk gambaran kasar!

📝 Post Test Materi 2

5 Soal

🎯 Materi 3

Titik Puncak & Sumbu Simetri

Temukan koordinat titik puncak parabola dan garis simetrinya.

🏔️ Apa itu Titik Puncak?

Titik puncak (vertex) adalah titik terendah (jika a > 0) atau tertinggi (jika a < 0) dari sebuah parabola.

Titik Puncak P = (x_p, y_p)

Rumus x puncak:

x_p = −b2a

Rumus y puncak:

y_p = f(x_p) atau y_p = c − b²4a

🪞 Sumbu Simetri

Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris sempurna.

Sumbu Simetri: x = −b2a

💡 Ingat: Sumbu simetri selalu melewati titik puncak. Persamaannya sama dengan x-koordinat titik puncak!

💡 Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Tentukan titik puncak dari f(x) = x² − 4x + 5 +

1

Identifikasi: a = 1, b = −4, c = 5

2

Hitung x_p: x_p = −(−4)2 × 1 = 42 = 2

3

Hitung y_p: f(2) = (2)² − 4(2) + 5 = 4 − 8 + 5 = 1

4

Titik puncak: P(2, 1), Sumbu simetri: x = 2

⚡ Trik Hafal rumus: x = −b/(2a), lalu substitusi ke f(x). Jangan lupa: minus di depan b, dibagi 2a!

Soal 2: Tentukan sumbu simetri dari f(x) = 2x² − 8x + 3 +

1

Identifikasi: a = 2, b = −8

2

Sumbu simetri: x = −(−8)2 × 2 = 84 = 2

3

Sumbu simetri: x = 2

⚡ Trik Untuk sumbu simetri: ganti b dengan nilai aktualnya (lengkap dengan tanda), lalu bagi 2a. Kalau b negatif, −(negatif) = positif!

Soal 3: Titik puncak f(x) = −x² + 4x − 3. Tentukan koordinatnya! +

1

a = −1, b = 4, c = −3

2

x_p = −42×(−1) = −4−2 = 2

3

y_p = f(2) = −(4) + 8 − 3 = 1

4

Titik puncak: P(2, 1) — ini titik MAKSIMUM karena a < 0

⚡ Trik Perhatikan tanda a! Jika a < 0, titik puncak adalah nilai MAKSIMUM. Jika a > 0, adalah MINIMUM.

📝 Post Test Materi 3

5 Soal

🔢 Materi 4

Akar-akar Persamaan Kuadrat

Tiga cara mencari akar: memfaktorkan, melengkapi kuadrat, dan rumus kuadratik (ABC).

🌱 Apa itu Akar?

Akar persamaan kuadrat adalah nilai x yang membuat f(x) = 0. Secara geometris, akar adalah nilai x di mana grafik parabola memotong atau menyentuh sumbu X.

ax² + bx + c = 0

🔬 Diskriminan (D)

Sebelum mencari akar, cek dulu diskriminannya untuk tahu ada berapa akar:

D = b² − 4ac

Nilai D	Jenis Akar	Grafik
D > 0	Dua akar real berbeda (x₁ ≠ x₂)	Memotong sumbu X di 2 titik
D = 0	Dua akar real sama (x₁ = x₂)	Menyentuh sumbu X di 1 titik
D < 0	Tidak ada akar real	Tidak memotong sumbu X

🧮 Rumus Kuadratik (Rumus ABC)

x₁,₂ = −b ± √b² − 4ac2a

Cara pakai: Subtitusi nilai a, b, c ke rumus. Tanda ± menghasilkan dua akar: x₁ dengan tanda + dan x₂ dengan tanda −.

🤝 Hubungan Akar-Koefisien (Vieta)

Tanpa menghitung akarnya satu per satu, kamu bisa tahu jumlah dan hasil kalinya!

Jumlah Akar

x₁ + x₂ = −ba

Hasil Kali Akar

x₁ × x₂ = ca

💡 Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1: Tentukan akar dari x² − 5x + 6 = 0 (Cara Faktor) +

1

Cari dua bilangan yang jumlahnya = b = −5 dan hasil kalinya = c = 6

2

Dua bilangan: −2 dan −3 (karena −2+(−3)=−5 dan (−2)(−3)=6)

3

Faktorkan: (x − 2)(x − 3) = 0

4

Akar: x = 2 atau x = 3

⚡ Trik Untuk a=1: cari dua angka yang jumlahnya = b dan kalinya = c. Latih dengan soal banyak, lama-lama langsung bisa feeling-nya!

Soal 2: Tentukan akar dari 2x² − 3x − 2 = 0 (Rumus ABC) +

1

a = 2, b = −3, c = −2

2

D = (−3)² − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25

3

√D = √25 = 5

4

x₁ = 3 + 52×2 = 84 = 2

5

x₂ = 3 − 52×2 = −24 = −½

⚡ Trik Hitung D dulu! Kalau D hasilnya bilangan kuadrat sempurna (1,4,9,16,25...), akarnya bilangan bulat/pecahan sederhana. Kalau tidak, pakai kalkulator atau biarkan dalam bentuk √.

Soal 3: Dari 3x² − 5x + 2 = 0, tentukan x₁+x₂ dan x₁·x₂ tanpa mencari akarnya! +

1

a = 3, b = −5, c = 2

2

x₁ + x₂ = −(−5)3 = 53 = 5/3

3

x₁ × x₂ = 23 = 2/3

⚡ Trik Teorema Vieta super cepat! Jumlah = −b/a, Kali = c/a. Berguna untuk verifikasi atau soal yang meminta jumlah/kali akar tanpa harus mencari akar satu per satu.

📝 Post Test Materi 4

5 Soal

⚡ Materi 5

Nilai Ekstrem & Aplikasi

Manfaatkan fungsi kuadrat untuk menyelesaikan masalah nyata di fisika, ekonomi, dan teknik.

📊 Nilai Maksimum dan Minimum

Karena parabola memiliki titik puncak, kita bisa menemukan nilai terbesar atau terkecil dari sebuah fungsi kuadrat.

📉

Nilai Minimum (a > 0)

y_min = c − b²4a

Tercapai di x = −b2a

📈

Nilai Maksimum (a < 0)

y_maks = c − b²4a

Tercapai di x = −b2a

Rumusnya SAMA! y = c − b²/(4a). Yang berbeda hanya interpretasinya: jika a > 0 itu minimum, jika a < 0 itu maksimum.

🌍 Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari

🏀 Fisika — Gerak Parabola

Ketinggian benda yang dilempar ke atas

h(t) = −½gt² + v₀t + h₀
Di mana g = percepatan gravitasi, v₀ = kecepatan awal, h₀ = ketinggian awal.
Ketinggian maksimum terjadi di titik puncak parabola ini!

💰 Ekonomi — Keuntungan Maksimum

Optimasi keuntungan bisnis

Pendapatan P = harga × kuantitas. Jika harga bergantung pada permintaan, hasilnya sering berupa fungsi kuadrat. Titik puncak memberi harga optimal untuk keuntungan maksimum.

📐 Teknik — Optimasi Area

Luas area maksimum dari pagar/kawat

Dari kawat sepanjang tertentu, bagaimana membentuk pagar persegi panjang dengan luas terbesar? Jawabannya menggunakan titik puncak fungsi kuadrat!

💡 Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1 (Fisika): Bola dilempar dengan h = −5t² + 20t + 2. Hitung tinggi maksimum! +

1

Identifikasi: a = −5, b = 20, c = 2

2

t puncak = −202×(−5) = −20−10 = 2 detik

3

h(2) = −5(4) + 20(2) + 2 = −20 + 40 + 2 = 22 meter

4

Bola mencapai ketinggian maksimum 22 m pada detik ke-2.

⚡ Trik Cari t puncak dulu (−b/2a), lalu substitusi ke h(t). Selalu periksa: a < 0 berarti ada nilai MAKSIMUM ✓

Soal 2 (Optimasi): Kawat 20 m dibentuk persegi panjang. Hitung luas maksimum! +

1

Keliling = 2(p + l) = 20, maka p + l = 10

2

Misalkan panjang = x, maka lebar = 10 − x

3

Luas: L = x(10 − x) = 10x − x² = −x² + 10x

4

a = −1, b = 10 → x puncak = −102×(−1) = 5 m

5

L maks = −(25) + 10(5) = −25 + 50 = 25 m²

6

Persegi panjang optimal: 5 m × 5 m (ternyata berbentuk persegi!)

⚡ Trik Untuk soal "luas maksimum dari keliling tetap", jawabannya SELALU berbentuk persegi! Ini fakta matematika yang keren untuk diingat.

Soal 3 (Ekonomi): Keuntungan P = −2x² + 120x − 800 (x = unit terjual). Berapa unit agar untung maksimal? +

1

a = −2, b = 120, c = −800

2

x puncak = −1202×(−2) = −120−4 = 30 unit

3

P maks = −2(900) + 120(30) − 800 = −1800 + 3600 − 800 = Rp 1.000 (dalam ribuan)

4

Jual 30 unit untuk keuntungan maksimum Rp 1.000.000.

⚡ Trik Selalu cek apakah a < 0 (agar memang ada maksimum). Lalu cari x puncak = jumlah produk optimal, lalu hitung P(x puncak) untuk nilai keuntungan maksimumnya.

📝 Post Test Materi 5

5 Soal

🎨 Visual Interaktif

Visualisasi Grafik Fungsi Kuadrat

Geser slider dan lihat bagaimana parabola berubah secara real-time!

💡 Cara pakai: Geser slider a, b, c di panel kanan. Grafik, persamaan, dan titik-titik penting akan berubah otomatis. Sumbu X dan Y selalu tetap di tengah.

🎛️ Kontrol Koefisien

Koefisien a 1

Kontrol arah & lebar parabola

Koefisien b 0

Kontrol posisi horizontal puncak

Koefisien c 0

Kontrol geser atas-bawah

f(x) = x²

Arah Bukaan Ke Atas ↑

Titik Puncak (0, 0)

Sumbu Simetri x = 0

Titik Potong Y (0, 0)

Diskriminan D 0

Akar Real x = 0

🔍 Eksperimen yang Disarankan

U Sederhana
a=1, b=0, c=0
f(x) = x²

Terbalik ∩
a=−1, b=0, c=0
f(x) = −x²

Dua Akar
a=1, b=−4, c=3
f(x) = x²−4x+3

Lebih Sempit
a=2, b=0, c=0
f(x) = 2x²

Satu Akar
a=1, b=−2, c=1
f(x) = (x−1)²

Tak Ada Akar
a=−1, b=4, c=−5
D < 0

Klik salah satu card di atas untuk langsung mencoba!

🎮 Game Interaktif

Lempar Bola ke Keranjang!

Atur sudut lemparan dan tembakkan bola ke keranjang. Bola bergerak mengikuti lintasan parabola!

🏀 Cara main: Atur sudut lemparan dengan slider, lalu klik Lempar!. Bola akan melayang mengikuti lintasan parabola. Masukkan bola ke keranjang sebanyak mungkin dari 5 percobaan!

🏀 Lempar Bola

Bola mengikuti lintasan parabola. Ubah sudut untuk mengarahkan bola ke keranjang!

0

Poin dari 5 lemparan

⬆ Sudut Lemparan (θ) 45°

y = x·tan(45°) − 0.002x²

🔬 Hubungan Matematika:
Lintasan bola = lintasan parabola!
y = x·tan(θ) − kx²
Sudut θ = koefisien b
Gravitasi = koefisien a

Kuasai Fungsi Kuadratdari Nol!

🎯 Tujuan Belajar

🗺️ Mulai dari Mana?

Pengertian & Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

📝 Post Test Materi 1

Grafik Fungsi Kuadrat

📝 Post Test Materi 2

Titik Puncak & Sumbu Simetri

📝 Post Test Materi 3

Akar-akar Persamaan Kuadrat

📝 Post Test Materi 4

Nilai Ekstrem & Aplikasi

📝 Post Test Materi 5

Visualisasi Grafik Fungsi Kuadrat

🎛️ Kontrol Koefisien

Lempar Bola ke Keranjang!

🏀 Lempar Bola

Kuasai Fungsi Kuadrat
dari Nol!